Bạn đang xem: Chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng phép biến đổi tương đương
32 trangtrường đạt34082DownloadXem thêm: 4 Vụ Trăn Ăn Thịt Người Ở Hà Giang, Trăn Khổng Lồ Nuốt Chửng Một Phụ Nữ Indonesia
Bạn sẽ xem đôi mươi trang mẫu mã của tài liệu "19 cách thức chứng minh Bất đẳng thức", để tải tài liệu nơi bắt đầu về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD ngơi nghỉ trênPHẦN 1CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý1/Định nghĩa 2/Tính chất+ A>B + A>B và B >C + A>B A+C >B + C + A>B với C > D A+C > B + D + A>B cùng C > 0 A.C > B.C + A>B cùng C B > 0 A > B + A > B A > B cùng với n lẻ + > A > B với n chẵn + m > n > 0 cùng A > 1 A >A + m > n > 0 cùng 0 0)+ ( vệt = xảy ra khi A.B B. Ta lập hiệu A –B > 0 chú ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" MVí dụ 1 " x, y, z minh chứng rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z)Giải:a) Ta xét hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)=đúng với đa số x;y;z vì chưng (x-y)2 0 với"x ; y dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z vết bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y lốt bằng xẩy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx.Dấu bằng xảy ra khi x = y =zb)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz= ( x – y + z) đúng với mọi x;y;zVậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với tất cả x;y;zDấu bằng xẩy ra khi x+y=zc) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1Ví dụ 2: chứng minh rằng :a) ; b) c) Hãy tổng quát bài xích toánGiải:a) Ta xét hiệu = = = Vậy .Dấu bằng xẩy ra khi a=bb)Ta xét hiệu =.VậyDấu bằng xảy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại công việc để minh chứng AB theo định nghĩaBước 1: Ta xét hiệu H = A - BBước 2:Biến thay đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F)Bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ 1: chứng tỏ "m,n,p,q ta đều sở hữu : m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi ví dụ 2: minh chứng rằng với đa số a, b, c ta luôn luôn có :Giải: Ta có : , Đúng với tất cả a, b, c.Phương pháp 2 : dùng phép biến hóa tương đươngKiến thức: Ta chuyển đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương cùng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đang được minh chứng là đúng.Nếu A 1 x.y.z>1 xích míc gt x.y.z=1 nên phải xẩy ra trường hợp trên tức là có đúng một trong các ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1Ví dụ 5: minh chứng rằng : Giải:Ta bao gồm : tương tự ta bao gồm :,Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : (*)Ta tất cả : tựa như : , cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : (**)Từ (*) với (**) , ta được : (đpcm)Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức phụKiến thức: a) b) dấu( = ) lúc x = y = 0 c) d)Ví dụ 1 cho a, b ,c là các số ko âm minh chứng rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc lốt “=” xảy ra khi a = b = c phương pháp 4:Bất đẳng thức Cô sy kiến thức: a/ Với nhị số không âm : , ta có: . Dấu “=” xẩy ra khi a=bb/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số ko âm :Dấu “=” xảy ra khi chăm chú : ta cần sử dụng bất đẳng thức Côsi lúc đề cho đổi mới số không âm.Ví dụ 1 : Giải phương trình :Giải : nếu để t =2x thì pt biến hóa pt bậc 6 theo t đề xuất ta đặt lúc đó phương trình tất cả dạng :Vế trái của phương trình:Vậy phương trình tương tự với : .Ví dụ 2 : mang lại x, y , z > 0 cùng x + y + z = 1. Search GTLN của p. =Giải : phường = 3- () = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu như a, b, c > 0 thì Suy ra Q = -Q nên phường = 3 – Q 3-=Vậy max p. = .khi x = y = z = .Ví dụ 3: đến a, b, c >0 . Chứng tỏ rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta tất cả :Tương từ bỏ :Dấu “=” xẩy ra khi a = b = c.Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : (*)Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :Cũng theo bất đẳng thức Côsi :Viết tiếp nhị BDT tương tự (2) rồi nhân cùng với nhau sẽ tiến hành Từ (1),(3) suy ra (*). Lốt “=” xảy ra khi a = b = c giỏi ABC là gần như .Ví dụ 5:Cho . Chứng tỏ rằng: Giải: Đặt bao gồm 2 nghiệm a,cMà:Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: phương pháp 5 Bất đẳng thức BunhiacopskiKiến thức:Cho 2n số thực (): . Ta luôn có:Dấu “=” xẩy ra khi tốt (Quy mong : nếu chủng loại = 0 thì tử = 0 )Chứng minh:Đặt trường hợp a = 0 xuất xắc b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.Nếu a,b > 0:Đặt: , thế thì: mặt khác: Suy ra: Lại có: Suy ra: Dấu”=” xẩy ra Ví dụ 1 :Chứng minh rằng: , ta có: Giải: Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:Ví dụ 2: mang đến tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của:Giải:* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộngCho m cỗ số, mỗi cỗ số gồm n số ko âm: núm thì: Dấu”=” xảy ra bô số (a,b,.,c) sao cho: với từng i = 1,2,,m thì sao cho: , hay Ví dụ 1: Cho chứng minh rằng: Giải: ta có: cho nên vì thế theo bất đẳng thức Bunhiacopski:(đpcm)Ví dụ 2: mang lại 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: Giải: sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bdmà lấy ví dụ như 3: chứng minh rằng : Giải: sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cách 1: Xét cặp số (1,1,1) cùng (a,b,c) ta bao gồm 3 Điều phải minh chứng Dấu bằng xẩy ra khi a=b=cPhương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sépKiến thức:a)Nếu thì .Dấu ‘=’ xảy ra khi còn chỉ khib)Nếu thìDấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khiVí dụ 1: mang đến ABC gồm 3 góc nhọn nội tiếp con đường tròn nửa đường kính R = 1 và S là diện tích s tan giác. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.Giải: Không giảm tính tổng thể ta giả sư Suy ra:Áp dụng BĐT trebusep ta được:Dấu ‘=’ xảy raMặt khác:Thay (2) vào (1) ta cóDấu ‘=’ xảy ra ABC đều. Lấy ví dụ 2(HS tự giải): a/Cho a,b,c>0 cùng a+b+c=1 CMR: b/Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z c/Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: d)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y ví dụ như 3: cho a>b>c>0 và . Minh chứng rằngGiải: vị a,b,c đối xứng ,giả sử abc Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta bao gồm ==Vậy lốt bằng xẩy ra khi a=b=c=Ví dụ 4: cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải: Ta có Do abcd =1 buộc phải cd = (dùng )Ta bao gồm (1) phương diện khác: = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =VậyPhương pháp7 Bất đẳng thức BernouliKiến thức:a)Dạng nguyên thủy: mang lại a-1, Z thì . Vệt ‘=’ xẩy ra khi còn chỉ khi b) Dạng mở rộng: - mang lại a > -1, thì . Lốt bằng xảy ra khi còn chỉ khi a = 0.- mang đến thì . Vệt bằng xảy ra khi va chỉ khi.Ví dụ 1 : chứng minh rằng .GiảiNếu xuất xắc thì BĐT luôn đúngNếu 0 0.Chứng minh rằng . (1)GiảiÁp dụng BĐT Bernouli: (2)Chứng minh tương tự như ta đuợc: (3) (4)Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có(đpcm)Chú ý: ta có câu hỏi tổng quát sau đây:“Cho minh chứng rằng .Dấu ‘=’ .(chứng minh tựa như bài trên).Ví dụ 3: đến . Minh chứng rằng .GiảiĐặt .Chứng minh tương tự:Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta đượcChú ý: câu hỏi tổng quát lác dạng này“ đến n số Ta luôn luôn có:Ph ương pháp 8: Sử dụng đặc thù bắc cầuKiến thức: A>B và B>C thì A>CVí dụ 1: mang lại a, b, c ,d >0 thỏa mãn nhu cầu a> c+d , b>c+d chứng minh rằng ab >ad+bc Giải:Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều bắt buộc chứng minh)Ví dụ 2: cho a,b,c>0 thỏa mãn . Chứng minh Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân tách hai vế mang đến abc > 0 ta tất cả Ví dụ 3: đến 0 1-a-b-c-dGiải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab vị a>0 , b>0 cần ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) vì c 0 ta tất cả (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều nên chứng minh)Ví dụ 4: cho 0 0 1+ > + bmà 0 , > từ bỏ (1) và (2) 1+> +. Vậy + 0 thì từ ` lấy ví dụ như 1: mang đến a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải: Theo đặc điểm của tỉ trọng thức ta gồm (1) mặt khác : (2) tự (1) với (2) ta bao gồm 1 chứng tỏ rằng Giải: Ta có với k = 1,2,3,,n-1 vì chưng đó: ví dụ 2: chứng minh rằng: với n là số ng ... 1 . Ta buộc phải chứng minh: Ta có: (Vì )Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1Vậy theo nguyên lý quy nạp: lấy ví dụ 5: cho , . Chứng minh rằng: Giải n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta nên chứng minh: (1)Thật vậy: + Vậy (1) được chứng minhVí dụ 6: cho , . Chứng minh rằng: Giải:n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta đề xuất chứng minh: (1)Đặt: Vậy (1) đựơc bệnh minhVí dụ 7: chứng tỏ rằng: Giải: n=2 n=k: trả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1:Ta c ó: (vì ) Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1Vậy lấy ví dụ như 8: minh chứng rằng: Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta buộc phải chứng minh: Ta có: Nên: Bất đẳng thức đúng với n= k+1. Vậy: +Ph ương pháp 16: minh chứng phản tận mắt chứng kiến thức: 1) mang sử phải minh chứng bất đẳng thức nào kia đúng , ta hãy mang sử bất đẳng thức đó sai cùng kết phù hợp với các mang thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với mang thiết , hoàn toàn có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần minh chứng là đúng 2) đưa sử ta phải chứng minh luận đề “p q”Muốn chứng tỏ (với : trả thiết đúng, : tóm lại đúng) phép chứng minh được thực hiên như sau:Giả sử không có ( hoặc sai) suy ra điều vô lý hoặc sai. Vậy phải bao gồm (hay đúng)Như vậy để che định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó . Ta hay được dùng 5 hình thức chứng minh phản triệu chứng sau : A - cần sử dụng mệnh đề phản hòn đảo : “P Q” B – đậy định rôi suy trái trả thiết C – che định rồi suy trái cùng với điều đúng D – lấp định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – che định rồi suy ra kết luận :Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn nhu cầu a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải: mang sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 cho nên vì thế a 0 cùng a 0 a(b+c) > -bc > 0 bởi a 0 b + c 0 tựa như ta có b > 0 , c > 0Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều khiếu nại ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong những bất đẳng thức sau là sai: , Giải: trả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được (1) Theo đưa thiết ta bao gồm 4(b+d) 2ac (2) từ bỏ (1) với (2) tuyệt (vô lý) Vậy vào 2 bất đẳng thức với có tối thiểu một những bất đẳng thức saiVí dụ 3:Cho x,y,z > 0 với xyz = 1. Minh chứng rằng trường hợp x+y+z > thì có một trong những ba số này to hơn 1 Giải :Ta gồm (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () vị xyz = theo mang thiết x+y +z > cần (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một vài dương thiệt vậy giả dụ cả tía số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái mang thiết) Còn nếu như 2 trong 3 số kia dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiải: Ta xét hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +=(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 và a3 > 36 đề nghị a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều bắt buộc chứng minh2) minh chứng rằng a) b) với mọi số thực a , b, c ta tất cả c) Giải: a) Xét hiệu: = = HH0 ta tất cả điều phải chứng minh b) Vế trái hoàn toàn có thể viết H = H > 0 ta tất cả đpcm c) vế trái có thể viết H = H 0 ta bao gồm điều đề nghị chứng minh* Dùng thay đổi tương đương 1) đến x > y và xy =1 .Chứng minh rằng Giải: Ta gồm (vì xy = 1) cho nên vì vậy BĐT cần minh chứng tương đương với BĐT cuối đúng đề nghị ta tất cả điều nên chứng minh2) mang lại xy 1 .Chứng minh rằng Giải: Ta gồm BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có đpcm* cần sử dụng bất đẳng thức phụ1) đến a , b, c là các số thực với a + b +c =1 minh chứng rằng Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski mang lại 3 số (1,1,1) với (a,b,c) Ta bao gồm (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) mang lại a,b,c là những số dương . Chứng minh rằng (1)Giải: (1) áp dụng BĐT phụ với x,y > 0. Ta gồm BĐT ở đầu cuối luôn đúng Vậy (đpcm)* Dùng phương pháp bắc ước 1) đến 0 0 .Cminh rằng: Giải: vì a ,b ,c ,d > 0 bắt buộc ta tất cả (1) (2) (3) Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta tất cả : (đpcm) 2) mang đến a ,b,c là số đo bố cạnh tam giác minh chứng rằng : Giải: vì chưng a ,b ,c là số đo tía cạnh của tam giác yêu cầu ta có a,b,c > 0 với a 0 với x+y+z =1 Giải: vày x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi đến x+y ; y+z ; x+z ta tất cả Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= Vậy S . Vậy S có mức giá trị lớn nhất là khi x=y=z= ví dụ như 3: mang đến xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta có (1) Áp dụng BĐT Bunhiacốpski đến () với (1,1,1)Ta gồm Từ (1) với (2) Vậy có giá trị nhỏ dại nhất là lúc x=y=z= ví dụ 4 : trong tam giác vuông gồm cùng cạnh huyền , tam giác vuông như thế nào có diện tích lớn độc nhất Giải: điện thoại tư vấn cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao nằm trong cạnh huyền là h Hình chiếu những cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta gồm S = vày a ko đổi mà lại x+y = 2a. Vậy S lớn nhất khi x.y lớn số 1 Vậy trong những tam giác gồm cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân nặng có diện tích lớn duy nhất 2/ sử dụng Bất đẳng thức để giải phương trình cùng hệ phương trình lấy ví dụ như 1:Giải phương trình: Giải : Ta bao gồm Vậy vệt ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy khi x = -1 Vậy phương trình bao gồm nghiệm độc nhất x = -1 lấy ví dụ như 2: Giải phương trình Giải : vận dụng BĐT BunhiaCốpski ta gồm : dấu (=) xẩy ra khi x = 1 mặt khác vệt (=) xảy ra khi y = - Vậy khi x =1 và y =- Vậy nghiệm của phương trình là lấy ví dụ 3:Giải hệ phương trình sau: Giải: áp dụng BĐT Côsi ta tất cả Vì x+y+z = 1) đề xuất Dấu (=) xẩy ra khi x = y = z = Vậy gồm nghiệm x = y = z = ví dụ như 4: Giải hệ phương trình sau tự phương trình (1) giỏi Từ phương trình (2) trường hợp x = thì y = 2 nếu x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình tất cả nghiệm với 3/ cần sử dụng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên ví dụ như 1: Tìm những số nguyên x,y,z hài lòng Giải:Vì x,y,z là các số nguyên yêu cầu (*) Mà các số x,y,z phải tìm là lấy ví dụ như 2: tra cứu nghiệm nguyên dương của phương trình Giải: không mất tính bao quát ta trả sử Ta tất cả Mà z nguyên dương vậy z = 1. Cố kỉnh z = 1 vào phương trình ta được Theo trả sử xy yêu cầu 1 = cơ mà y nguyên dương cần y = 1 hoặc y = 2 với y = 1 không thích hợp với y = 2 ta gồm x = 2 Vậy (2 ,2,1) là một trong những nghiệm của phương trình Hoán vị các số bên trên ta được những nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2)Ví dụ 3:Tìm các cặp số nguyên bằng lòng phương trình (*) Giải: (*) với x 0 , y > 0 Ta có Đặt (k nguyên dương bởi vì x nguyên dương ) Ta gồm Nhưng mà giữa k và k+1 là nhì số nguyên dương thường xuyên không tồn tại một trong những nguyên dương làm sao cả Nên không tồn tại cặp số nguyên dương nào đồng tình phương trình . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : bài bác tập đề nghị :Bài 1:Chứng minh rằng với đa số a,b,c > 0 : HD : đưa vế quy đồng mẫu đem lại tổng bình phương các đẳng thức.Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : HD: bài bác 3: đến a, b. C > 0 cùng a + b + c 1. Cmr : HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bài bác 4 : đến . Cmr :HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi mang đến , rồi cộng hai vế theo vế.Bài 5: mang đến a, b >1. Kiếm tìm GTNN của S = HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi đến và xét ngôi trường hợp vệt “=” xảy ra .Bài 9 : tìm kiếm GTLN và GTNN của y = HD: Đặt x= bài xích 10: mang lại 36xCmr : HD: Đặt : bài 11: Cmr : HD : Đặt x = bài 12: mang đến . Minh chứng rằng: bài xích 13: mang lại ABC tất cả a, b, c là độ dài những cạnh. Chứng minh rằng: bài xích 14: mang lại . Minh chứng rằng bài xích 15: . Minh chứng rằng: bài 16: có tồn vì sao cho: ?Bài 17: đến ABC có diện tích s bằng 4 (đơn vị diện tích). Trên những cạnh BC, CA, AB mang lần lược các điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng: Trong toàn bộ các tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có tối thiểu 1 diện tích nhỏ dại hơn hay bằng 1(đơn vị diện tích)