TOÁN 8 – HÌNH HỌC
CHUYÊN ĐỀ
ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG. Bạn đang xem: Cách chứng minh đường trung bình
Định nghĩa : Đường vừa phải của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của nhì cạnh của tam giác.
Định lý 1.
Đường thẳng trải qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song cùng với cạnh sản phẩm hai thì đi qua trung điểm của cạnh lắp thêm ba. |
Định lý 2.
Đường vừa phải của tam giác thì tuy nhiên song với cạnh thứ cha và bởi nửa cạnh ấy. |
2. Cách chứng tỏ đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác.
Có 2 giải pháp : (hình minh họa sinh hoạt trên)
Cách 1 : minh chứng D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC à DE là mặt đường trung bình của tam giác ABC.
Cách 2 : minh chứng D là trung điểm của AB với DE song song với BC à DE là mặt đường trung bình của tam giác ABC.
3. Đường trung bình của hình thang.
Định nghĩa : Đường mức độ vừa phải của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai kề bên của hình thang.
Định lý 3.
Đường trực tiếp đi trung điểm một bên cạnh của hình thang và song song cùng với hai lòng thì đi qua trung điểm kề bên thứ hai. |
Định lý 4.
Đường vừa phải của hình thang thì tuy nhiên song với hai cạnh lòng và bằng nửa tổng nhị đáy. |
4. Cách minh chứng đoạn trực tiếp là con đường trung bình của hình thang.
Có 2 cách chứng minh.
Cách 1 : chứng tỏ E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC à EF là con đường trung bình của hình thang ABCD.
Cách 2 : chứng minh E là trung điểm của AD và EF // DC à EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
B. BÀI TẬP.
Bài toán 1 : Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo thiết bị tự là trung điểm của AD, BC, AC.
a) đối chiếu độ lâu năm EK và CD, KF và AB.
b) minh chứng rằng EF
Gợi ý :
- học sinh tự vẽ hình.
- a) phụ thuộc tính hóa học đường mức độ vừa phải trong tam giác.
- b) phụ thuộc vào ý a) đã chứng minh + bất đẳng thức vào tam giác.
Bài toán 2 : Cho tứ giác ABCD. điện thoại tư vấn E, F, I theo máy tự là trung điểm của AD, BC, AC.
Chứng minh rằng :
a) EI // CD, IF // AB.
b) EF
Gợi ý : tương tự bài toán 1.
Bài toán 3 : đến hình thang ABCD gồm đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thiết bị tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng tía điểm E, I, F thẳng hàng.
Gợi ý :
- học viên tự vẽ hình.
- chứng minh EI // DC và FI // DC suy ra EI trùng FI suy ra ba điểm thẳng hàng.
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC, các trung tuyến đường BE với CD giảm nhau tại G. điện thoại tư vấn I, K theo máy tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE song song và bởi IK.
Gợi ý :
- học viên tự vẽ hình.
- phụ thuộc dữ kiện đề bài cho + đường trung bình vào tam giác.
Bài toán 5 : cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao để cho AD = DC. Hotline M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh rằng AI = IM.
Xem thêm: Đi Săn Mồi, Sư Tử Bị Trâu Rừng Phản Đòn Bỏ Chạy Thục Mạng, Xem Hổ Và Sư Tử Săn Trâu Rừng
Gợi ý :
- học sinh tự vẽ hình.
- điện thoại tư vấn O là trung điểm của DC. Đi chứng minh MO // DI. Minh chứng tiếp DI là mặt đường trung bình của tam giác AMO.
Bài toán 6 : Cho tam giác ABC, con đường trung tuyến đường AM. Hotline D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD với AC. Minh chứng rằng AE = EC.
Gợi ý :
- học viên tự vẽ hình.
- điện thoại tư vấn N là trung điểm của EC rồi bác bỏ minh MN // ED.
- chứng tỏ DE là đường trung bình của tam giác AMN.
Bài toán 7 : mang lại tam giác ABC. Vẽ đường cao AH. Call D, E theo thứ tự là trung điểm của những cạnh AB và AC. Vẽ DI với EK cùng vuông góc với BC. Chứng minh rằng :
a) DI = EK.
b) IK = BC.
Gợi ý :
- học viên tự vẽ hình minh họa.
- phụ thuộc vào đường trung bình chứng minh DI = 50% AH với EK = 1/2AH.
- I là trung điểm của BH, cùng K là trung điểm của HC. Dựa vào đó để triệu chứng minh.
Bài toán 8 : Cho tam giác ABC. Điểm D, E trực thuộc cạnh AB làm thế nào cho AD = DE = EB. Vẽ DG và EF tuy vậy song với BC.
a) chứng minh rằng AG = GF = FC.
b) cho DG = 5cm. Tính BC.
Gợi ý :
- học viên tự vẽ hình.
- a) dựa vào đường mức độ vừa phải trong tam giác.
Bài toán 9 : Cho hình thang ABCD (AB// CD). điện thoại tư vấn E, F, I, K theo đồ vật tự là trung điểm của AD, BC, AC, BD. Tính độ dài những đoạn trực tiếp EK, KI, IF biết AB = 18cm cùng CD = 12cm.
Gợi ý : dựa vào tính hóa học đường vừa đủ trong tam giác cùng hình thang.
Bài toán 10 : Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 90o). Gọi M là trung điểm của BC. Minh chứng rằng tam giác MAD là tam giác cân.
Gợi ý :
- bí quyết 1 : call N là trung điểm của AD, chứng tỏ MN vuông góc với AD. Suy ra tam giác có MN vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến cần là tam giác cân.
- cách 2 : hotline E là giao điểm của AM cùng DC. ABM = ECM suy ra AM = EM. Rồi ứng dụng đặc điểm đường trung tuyến trong tam giác vuông ADE để suy ra DM = AM.
Bài toán 11 : đến hình thang ABCD (AB // CD) bao gồm AB = a, CD = b. Bên trên AD mang hai điểm E, F sao cho AE = EF = FD, bên trên BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = MN = NC. Tính độ dài các đoạn EM, FN theo a cùng b.
Gợi ý : phụ thuộc vào đường trung bình của hình thang.
Bài toán 12 : mang đến BD là đường trung tuyến đường của tam giác ABC. E là trung điểm của đoạn thẳng AD, F là trung điểm của đoạn thẳng DC, M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng ME // NF.
Gợi ý :
- ME cùng với BD như vậy nào? tại sao?
- NF với BD thế nào ? trên sao?
Bài toán 13 : mang đến hình thang ABCD (AB //CD, AB chứng tỏ rằng : IK = (CD - AB).
Gợi ý :
- học sinh tự vẽ hình.
- chứng tỏ MK là con đường trung bình cuả tam giác ACD.
- chứng minh MI là đường trung bình của tam giác ABD.
- IK = MK - MI.
Bài toán 14 : Cho tam giác ABC. điện thoại tư vấn M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia bố lấy điểm D làm sao cho BD = AB. Call K là giao điểm của DM cùng AC. Chứng minh rằng AK = 2KC.
Gợi ý :
- học sinh tự vẽ hình mình họa.
- call N là trung điểm của AK.
- BN là con đường trung bình của tam giác ADK suy BN//DK suy ra BN//MK.
- Đi chứng tỏ MK là đường trung bình của tam giác BNC suy ra K là trung điểm của NC.
- Từ các dữ khiếu nại trên học sinh suy ra AK = 2KC.